ニュートンの運動方程式のこと

 速度や加速度を定義にしたがって計算するためには、位置を時間の関数として得ていなければならない。単純なやり方としては「物体の運動を動画に撮影し、コマ送りで位置の時間変化をプロットする」などが考えられる。しかしこのやり方には限界がある。というのも、連続的なグラフを得ることはできない。しかしながら古典的な力学においては、位置と時間は実数として扱われる。実数は連続的だ。

 関連して別の疑問がある。位置の時間変化は、実際問題として、連続的なものとして得ることが困難であるのに、速度や加速度を計算して構わないのか」というものだ。

 しかし運動方程式というものを「位置→速度→加速度→力」という方向、すなわち「力の定義式」と見なすのではなく、時間追跡、すなわち「力を与えることによって微分方程式を解き、位置の時間変化を得る」というものとして「力→加速度→速度→位置」という方向へ用いることによって、位置の関数が連続的なものとして得られる。

 というのも「ここにはたらいている力の種類は何か」という判断は、数式の外側で、人間が行うことだからだ。しかしながら「はたらいている力の関数形が正しいものか、確認するのには力の定義式である運動方程式で確認しなければならないのではないか」という疑問も浮かぶ。

 この疑問に対する応答としては「運動方程式を確認するのではなく、力の関数形を与え、微分方程式を解いて得られた位置の関数が、実験に合致しているかを確認する」というものを考える。もちろん、この確認方法は冒頭に述べた事情から、十分性の確認に留まる。検証というのは帰納的なもので,論証のように演繹的にはいかない。

 しかし理論の検証が十分性を確認するに留まるといっても、さまざまな物体、多くの現象について十分性が確認できたならば、けっこう理論が有効なんじゃないかという気もしてくる。残るのはガラスに満たした水が少し減ったことに満足をするかしないかの差かも知れない(半分の水の例はあるが少なすぎる)

 

 

 自分が考えたことは,せいぜいそんなところです。